微分中值定理及其应用

微分中值定理，涉及了多个重要的定理：

• 罗尔定理
• 拉格朗日中值定理
• 柯西中值定理
• 洛必达法则

参考资料：https://www.hanspub.org/journal/PaperInformation?paperID=33661

罗尔定理

定理1 (Rolle) 设函数 f(x)
满足：

(1) 在 [a,b] 上连续；

(2) 在 (a,b) 内可导；

(3) f(a)=f(b)，

则存在 ξ∈(a,b) 使得 f′(ξ)=0 。

罗尔定理的几何意义：两端点处高度相等的光滑曲线内必有一点处的切线与x-轴平行。
也就是说，至少存在一个点 ξ，f′(ξ)=0。

如图所示：

下图中，虽然连续，但是不可导，因此不能符合罗尔定理：

拉格朗日中值定理

定理2( Lagrange) 设函数 f(x)
满足

(1) 在上连续；
(2) 在 (a,b) 内可导，
则存在 ξ∈(a,b) 使得:

拉格朗日中值定理的几何意义是：光滑曲线内必有一点处的切线平行于连接曲线两端点的直线。

也就是说 x 在 a、b 两点的连线，在曲线内必有一个点的切线跟这条直线平行。

柯西中值定理

设函数 f(x)、F(x) 满足：

• （1）在［a，b］上连续；
• （2）在（a，b）内可导；
• （3）当x∈（a，b）时，F′（x）≠0（见图2-23），则至少存在一点ξ∈（a，b），使